Sample Scripts from GB Books
ラプラス方程式、ポアッソン方程式

ポアッソン方程式はラプラス方程式に似てはいますが、右辺が0ではなく関数となる点が異なります。

(5)

ポアッソン方程式の厳密解を求めることは一般的に困難ですが、解を想定した上でそれに対応したPDEを導くことは簡単に行えます。例えば

(6)

という解を想定した場合、第1項の 2*x*y は調和関数（ラプラス方程式を満たす関数）ですから、ラプラシアンは0となります。従って数式(5)の f(x, y) に寄与するのは第2項の (x^3 + 2*y^2) の部分のみということになります。従って解(6)が満足するポアッソン方程式は次のようになります。

(7)

このPDEをFlexPDEで解いた結果がどの程度厳密解(6)に一致するかを検証してみます。解析対象のドメインは正方形領域とし、境界上では関数(6)の値をValue文で与えるものとします。

1. Problem descriptor [ laplace01f.pde ]

TITLE
    'Poisson Equation'        { laplace01f.pde }

SELECT
    Errlim = 1e-3             { Requested relative accuracy }

VARIABLES
    U                         { Unknown }

DEFINITIONS
    Lx = 1 Ly = 1
    U_ex = 2*x*y + (x^3 + 2*y^2) { Exact solution }

EQUATIONS
    div(grad(U)) = 6*x + 4        { Poisson PDE }

BOUNDARIES
    Region 1                  { Set exact values on boundaries }
      Start(-Lx, -Ly)
      Value(U) = U_ex Line to (Lx, -Ly)
                            to (Lx, Ly)
                            to (-Lx, Ly)
                            to Close

PLOTS
    Grid(x, y)
    Contour(U)
    Surface(U)
    Contour(U_ex)
    Contour(U - U_ex)

END